فروض في مادة الرياضيات السنة الأولى إعدادي

 

Cours : Théorème des Accroissements Finis (TAF) – 2ᵉ Bac SM A et B

1. Énoncé du théorème

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$, dérivable sur l'intervalle ouvert $]a, b[$. Alors, il existe un réel $c \in ]a, b[$ tel que :YouTube+6Bibmath+6AlloSchool+6

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Autrement dit, il existe un point $c$ où la pente de la tangente à la courbe de $f$ est égale à la pente de la sécante reliant les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$.

2. Interprétation géométrique

Le TAF stipule qu'il existe un point $c$ où la tangente à la courbe est parallèle à la sécante reliant les deux extrémités de l'intervalle. Cela signifie que, entre deux points d'un trajet, il y a au moins un instant où la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne.

3. Conditions d'application

Pour appliquer le TAF, la fonction $f$ doit :

• Être continue sur $[a, b]$

• Être dérivable sur $]a, b[$Scribd+5Bibmath+5Scribd+5

4. Exemple d'application

Considérons la fonction $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[1, 3]$.

• $f(1) = 1^2 = 1$

• $f(3) = 3^2 = 9$

• La pente de la sécante est :Wikipédia

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

La dérivée de $f$ est $f'(x) = 2x$. Il existe donc un $c \in ]1, 3[$ tel que $f'(c) = 4$. En résolvant $2c = 4$, on trouve $c = 2$.Bibmath

5. Conséquences du TAF

• Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est croissante sur cet intervalle.

• Inégalité des accroissements finis : Si $f'(x) \leq M$ pour tout $x \in ]a, b[$, alors :Bibmath+2AlloSchool+2

$$|f(b) - f(a)| \leq M(b - a)$$

6. Ressources supplémentaires

• AlloSchool : Cours et exercices corrigés sur le TAF.

• Kezakoo : Cours interactifs avec vidéos explicatives.

• Scribd : Documents PDF sur le TAF.AlloSchool+1

---

7. Vidéo explicative

Pour une explication visuelle et des exemples pratiques, vous pouvez consulter cette vidéo :

🔥 Théorème des Accroissements Finis – Cours et Exercices Corrigés

تعديل المقال