فروض في مادة الرياضيات السنة الأولى إعدادي

 

 Cours : Dérivation et étude des fonctions – 2ᵉ Bac SM A et B

1. Dérivabilité d’une fonction

Une fonction $f$ est dite dérivable en un point $x_0$ si la limite suivante existe :Scribd

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Cette limite, si elle existe, représente le taux de variation instantané de la fonction en $x_0$, c’est-à-dire la pente de la tangente à la courbe représentative de $f$ en ce point.

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2. Règles de dérivation

Voici les principales règles de dérivation à connaître :

• Dérivée d’une constante : $f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0$

• Dérivée de $x^n$ : $f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

• Dérivée de $e^x$ : $f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x$

• Dérivée de $\ln(x)$ : $f(x) = \ln(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}$

• Dérivée de $\sin(x)$ : $f(x) = \sin(x) \Rightarrow f'(x) = \cos(x)$

• Dérivée de $\cos(x)$ : $f(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(x) = -\sin(x)$

• Dérivée de $u(x) \cdot v(x)$ : $f(x) = u(x) \cdot v(x) \Rightarrow f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

• Dérivée de $\frac{u(x)}{v(x)}$ : $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

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3. Étude de la fonction $f$

L’étude d’une fonction $f$ consiste à déterminer ses principales caractéristiques :

a. Domaine de définition

Le domaine de définition de $f$ est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini.Wikipédia

b. Continuité

Une fonction est continue en un point $x_0$ si :Wikipédia

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Cela signifie que la courbe représentative de $f$ ne présente pas de "trous" ou de "sauts" en $x_0$.

c. Dérivabilité

Une fonction est dérivable en un point $x_0$ si la dérivée $f'(x_0)$ existe.Scribd+1

d. Signes de la fonction et de sa dérivée

• Signe de $f(x)$ : Déterminer les intervalles où $f(x)$ est positive ou négative.

• Signe de $f'(x)$ : Déterminer les intervalles où $f(x)$ est croissante (si $f'(x) > 0$) ou décroissante (si $f'(x) < 0$).

e. Points particuliers

• Points d’annulation : Les points où $f(x) = 0$.

• Extrema locaux : Les points où $f'(x) = 0$ et où la dérivée change de signe.

• Points d’inflexion : Les points où la concavité de la courbe change, c’est-à-dire où $f''(x) = 0$.Wikipédia

f. Tableau de variations

Un tableau de variations résume les informations sur les signes de $f(x)$ et $f'(x)$, ainsi que les variations de $f$ sur les différents intervalles.

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4. Applications géométriques

• Tangente à la courbe : L’équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point $x_0$ est :Scribd

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$

• Concavité et convexité : Une fonction est concave vers le bas si $f''(x) < 0$ et convexe vers le haut si $f''(x) > 0$.

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5. Ressources supplémentaires

• AlloSchool : Cours détaillé avec exercices corrigés sur la dérivation et l’étude des fonctions. AlloSchool

• Kezakoo : Fiche de cours interactive avec vidéos explicatives, exercices corrigés et quiz. Kezakoo

• Devoirs en ligne : Exercices corrigés pour la 2ᵉ Bac SM. devoirsenligne.com

• Scribd : Documents PDF sur la dérivabilité et l’étude des fonctions. ScribdKezakooKezakoo+3Scribd+3Scribd+3

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6. Vidéo explicative

Pour une explication visuelle et des exemples pratiques, vous pouvez consulter cette vidéo :

🔥 Dérivation et étude des fonctions – Cours et exercices corrigés

 

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