فروض في مادة الرياضيات السنة الأولى إعدادي

 

Cours : Limites et Continuité – 2ᵉ Bac SM A et B

1. Limite d’une fonction en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $x_0$, à l'exception peut-être de $x_0$ lui-même. On dit que $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ si, pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que :Kezakoo

$$\forall x \in I, \quad 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$$

Cela signifie que, à mesure que $x$ se rapproche de $x_0$, $f(x)$ se rapproche de $L$.

2. Continuité d’une fonction en un point

Une fonction $f$ est continue en un point $x_0$ si :Kezakoo

• $f(x_0)$ est défini,

• $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existe,

• $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Autrement dit, la fonction est continue en $x_0$ si la courbe représentative de $f$ ne présente pas de "trous" ou de "sauts" en ce point.

3. Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Pour un intervalle fermé $[a, b]$, la fonction doit être continue sur $]a, b[$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.Kezakoo+1

4. Propriétés des limites et de la continuité

• Limite d’une somme : $\lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x)$

• Limite d’un produit : $\lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)$

• Limite d’un quotient : $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)}$, si $\lim_{x \to x_0} g(x) \neq 0$

• Continuité de la somme, du produit et du quotient : Si $f$ et $g$ sont continues en $x_0$, alors $f + g$, $f \cdot g$ et $\frac{f}{g}$ (si $g(x_0) \neq 0$) sont continues en $x_0$.

5. Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Si $m$ et $M$ sont les bornes inférieure et supérieure de $f$ sur cet intervalle, alors pour tout $y$ compris entre $m$ et $M$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.

6. Ressources supplémentaires

• AlloSchool : Cours et exercices corrigés sur les limites et la continuité. AlloSchool

• Kezakoo : Fiche de cours interactive avec vidéos explicatives, exercices corrigés et quiz. Kezakoo

• Devoirs en ligne : Exercices corrigés pour la 2ᵉ Bac SM. devoirsenligne.com

• Moutamadris : Cours détaillé avec exercices et solutions. Moutamadris.ma

• Scribd : Documents PDF sur les limites et la continuité. ScribdScribd+2ajitfhamacademy.teachable.com+2devoirsenligne.com+21Kezakoo+21YouTube+21ajitfhamacademy.teachable.com+2Scribd+2

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7. Vidéo explicative

Pour une explication visuelle et des exemples pratiques, vous pouvez consulter cette vidéo :

🔥 Limites et continuité – Cours et exercices corrigés

 

 

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