فروض في مادة الرياضيات السنة الأولى إعدادي

 

Cours : Fonctions logarithmiques – 2ᵉ Bac SM A et B

1. Définition

• Une fonction logarithme est la fonction réciproque d’une fonction exponentielle.

• Si $f(x) = a \cdot e^{b(x - x_0)}$, la fonction logarithme correspondante est :

$$f^{-1}(x) = x_0 + \frac{1}{b} \ln\left(\frac{x}{a}\right)$$

où :

• $e$ : base du logarithme népérien, environ 2,718

• $a$ : coefficient multiplicatif

• $b$ : taux de variation

• $x_0$ : décalage horizontal

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2. Propriétés des fonctions logarithmiques

• Domaine : $]0, +\infty[$

• Image : $\mathbb{R}$

• Limite en 0 : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$

• Limite à l’infini : $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

• Dérivée : $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$

• Monotonie : La fonction $\ln(x)$ est croissante sur $]0, +\infty[$

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3. Logarithme népérien $\ln(x)$

• Définition : Fonction telle que :

$$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}, \quad \ln(1) = 0$$

• Domaine : $]0, +\infty[$

• Image : $\mathbb{R}$

• Graphique : Courbe croissante passant par le point $(1, 0)$

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4. Logarithme décimal $\log(x)$

• Définition : Fonction telle que :

$$(\log(x))' = \frac{1}{x \ln(10)}$$

• Lien avec $\ln(x)$ :

$$\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$$

• Domaine : $]0, +\infty[$

• Image : $\mathbb{R}$

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5. Applications

• Résolution d’équations exponentielles :

$$a^x = b \quad \Rightarrow \quad x = \log_a(b)$$

• Modélisation : Croissance et décroissance exponentielles (population, radioactivité, intérêts composés, etc.)

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6. Ressources supplémentaires

• AlloSchool : cours et exercices corrigés

• Kezakoo : cours interactifs avec exercices

• Scribd : fichiers PDF avec cours et exercices

• Moutamadris : résumés PDF

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7. Vidéo explicative

Fonctions logarithmes 2 bac SM – Partie 1

 

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