فروض في مادة الرياضيات السنة الأولى إعدادي

 Cours : Nombres complexes – Partie 2

1. Représentation géométrique des nombres complexes

• Un nombre complexe $z = a + ib$ peut être représenté dans le plan complexe par le point $M(a, b)$, où $a$ est la partie réelle et $b$ la partie imaginaire.

• Le plan complexe est un plan cartésien où l’axe horizontal représente les parties réelles ($\mathbb{R}$) et l’axe vertical les parties imaginaires ($\mathbb{I}$).

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2. Équations caractéristiques

• L’équation $x^2 + 1 = 0$ n’a pas de solution réelle, mais admet deux solutions dans $\mathbb{C}$ : $x = \pm i$.

• Tout nombre complexe peut s’écrire sous la forme $z = a + ib$, avec $a, b \in \mathbb{R}$.

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3. Opérations sur les nombres complexes

• Addition et soustraction : additionner ou soustraire les parties réelles et imaginaires séparément.

• Multiplication : distribuer les termes, en gardant à l’esprit que $i^2 = -1$.

• Division : multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, puis simplifier.

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4. Conjugué d’un nombre complexe

• Le conjugué de $z = a + ib$ est $\overline{z} = a - ib$.

• Propriété importante : $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$.

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5. Forme polaire

• Tout nombre complexe $z = a + ib$ peut s’écrire en forme polaire :

$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$

où :

• $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ est le module.

• $\theta = \arg(z)$ est l’argument du nombre.

• Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$.

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6. Opérations en forme polaire

• Multiplication : si $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ et $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ alors :

$$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

• Division :

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$

• Addition : il n’existe pas de formule simple pour additionner deux nombres complexes en forme polaire.

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7. Racines n-ièmes

Pour calculer les $n$-ièmes racines de $z = r e^{i\theta}$ :

$$z_k = \sqrt[n]{r} \, e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1$$

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Ressources supplémentaires

• AlloSchool : cours, résumés et exercices sur les nombres complexes.

• Moutamadris : résumé détaillé des nombres complexes.

• Scribd : exercices corrigés sur les nombres complexes.

 Vidéo explicative

Pour plus de détails et d’exemples, vous pouvez consulter :
Vidéo sur les nombres complexes – Partie 1

 

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