فروض في مادة الرياضيات السنة الأولى إعدادي

 

 الأولى باكلوريا علوم رياضية

تحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته

يُعد درس تحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته من الدروس المهمة في مادة الرياضيات لشعبة العلوم الرياضية – السنة الأولى باكالوريا، حيث يتيح للطالب فهم كيفية تحليل العلاقات الرياضية المعقدة وتبسيطها لتسهيل حل المسائل التطبيقية.

مفهوم الجداء السلمي

الجداء السلمي (ou produit scalaire) هو عملية رياضية تُطبق على متجهين لإنتاج عدد حقيقي (عدد) ويُستعمل في قياس العلاقة بين المتجهين، سواء من حيث الاتجاه أو الزاوية.

• إذا كان المتجهان متعامدين، يكون الجداء السلمي صفرًا.

• إذا كان المتجهان في نفس الاتجاه، يكون الجداء السلمي موجبًا.

• إذا كان المتجهان في اتجاهين متعاكسين، يكون الجداء السلمي سالبًا.

الصيغة الرياضية

• إذا كان لدينا متجهان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ فإن:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$$

حيث $\theta$ هي الزاوية بين المتجهين، و$||\vec{u}||$ و$||\vec{v}||$ طول كل متجه.

• الصيغة التحليلية (بالإحداثيات في المستوى):

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

تطبيقات الجداء السلمي

1. حساب الزوايا بين متجهين:

   • باستخدام العلاقة $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \, ||\vec{v}||}$.

2. التأكد من التعامد:

   • إذا كان $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$، إذن المتجهان متعامدان.

3. إسقاط متجه على آخر:

   • يمكن حساب طول الإسقاط باستخدام الجداء السلمي.

4. المسافة بين نقطتين أو من نقطة إلى مستقيم:

   • تطبيقات عملية في الهندسة المستوية.

نصائح للطالب

• احرص على فهم الصيغ الأساسية قبل البدء بحل التمارين.

• ابدأ بحل تمارين بسيطة ثم انتقل إلى تمارين مركبة لتطبيق المفاهيم على مسائل هندسية متنوعة.

• التمرن على تمثيل المتجهات في المستوى لتسهيل فهم العلاقة بين المتجهين.

تعديل المقال