Cours Fonctions primitives et calcul intégral 2EME ANNEE BAC SM A ET B

 

Cours : Fonctions Primitives et Calcul Intégral

1. Définition d'une fonction primitive

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est appelée primitive de $f$ sur $I$ si :Wikipédia+4Kezakoo+4Kezakoo+4

$$F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I$$

L'ensemble des primitives de $f$ est donné par :Kezakoo+2Wikipédia+2

$$\mathcal{P}(f) = \{ F + C \mid C \in \mathbb{R} \}$$

où $C$ est une constante réelle.

2. Expression d'une primitive à l'aide d'une intégrale

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$, la fonction définie par :Wikipédia+3Kezakoo+3Kezakoo+3

$$\phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$Kezakoo

est une primitive de $f$ sur $I$, s'annulant en $a$.Kezakoo+1

3. Techniques de calcul d'intégrales

a. Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. L'intégrale de leur produit est donnée par :Scribd

$$\int u(x) v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx$$

b. Changement de variable

Si $\varphi$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors :

$$\int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi'(x) \, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) \, du$$Wikipédia

c. Intégration des fonctions usuelles

Voici quelques primitives courantes :

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pour $n \neq -1$

• $\int e^x \, dx = e^x + C$

• $\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$

• $\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$

• $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

4. Applications du calcul intégral

a. Calcul d'aires

L'aire sous la courbe de $f$ entre $x = a$ et $x = b$ est donnée par :

$$A = \int_a^b f(x) \, dx$$

b. Calcul de volumes

Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe de $f$ autour de l'axe des abscisses entre $x = a$ et $x = b$ est donné par :Scribd

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

 Ressources complémentaires

• Kezakoo : Cours détaillés, vidéos et exercices corrigés sur les fonctions primitives et le calcul intégral pour la 2ᵉ année Bac SM A et B. Kezakoo

• AlloSchool : Cours, résumés et exercices corrigés sur les fonctions primitives et le calcul intégral. AlloSchool

• YouTube : Vidéo explicative sur les fonctions primitives et le calcul intégral. YouTube

Conseils pour les étudiants

• Compréhension des concepts : Assurez-vous de bien comprendre les définitions et les propriétés des fonctions primitives et du calcul intégral.

• Pratique régulière : Résolvez des exercices variés pour maîtriser les techniques de calcul d'intégrales.Kezakoo

• Utilisation des ressources : Consultez les ressources en ligne pour des explications détaillées et des exercices corrigés.

• Groupes d'étude : Participez à des groupes d'étude pour échanger des idées et résoudre des problèmes ensemble.