Cours Espaces vectoriels 2EME ANNEE BAC SM A ET B

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Cours : Espaces Vectoriels

1. Définition d'un espace vectoriel

Soit EE un ensemble muni de deux opérations :s3dad1825ccd91218.jimcontent.com+2USTO+2

  • Addition vectorielle : +:E×E→E+ : E \times E \to E

  • Multiplication scalaire : ⋅:R×E→E\cdot : \mathbb{R} \times E \to EUSTO

L'ensemble EE est un espace vectoriel réel s'il satisfait aux huit axiomes suivants :s3dad1825ccd91218.jimcontent.com

  1. Commutativité de l'addition : ∀x,y∈E, x+y=y+x\forall x, y \in E, \, x + y = y + x

  2. Associativité de l'addition : ∀x,y,z∈E, (x+y)+z=x+(y+z)\forall x, y, z \in E, \, (x + y) + z = x + (y + z)

  3. Existence d'un élément neutre pour l'addition : ∃0∈E, ∀x∈E, x+0=x\exists 0 \in E, \, \forall x \in E, \, x + 0 = x

  4. Existence d'un opposé pour chaque élément : ∀x∈E, ∃−x∈E, x+(−x)=0\forall x \in E, \, \exists -x \in E, \, x + (-x) = 0

  5. Compatibilité de la multiplication scalaire avec la multiplication des réels : ∀λ,μ∈R, ∀x∈E, (λμ)⋅x=λ⋅(μ⋅x)\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \, \forall x \in E, \, (\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)

  6. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle : ∀λ∈R, ∀x,y∈E, λ⋅(x+y)=λ⋅x+λ⋅y\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, \forall x, y \in E, \, \lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y

  7. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition scalaire : ∀λ,μ∈R, ∀x∈E, (λ+μ)⋅x=λ⋅x+μ⋅x\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \, \forall x \in E, \, (\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x

  8. Existence d'un élément neutre pour la multiplication scalaire : ∃1∈R, ∀x∈E, 1⋅x=x\exists 1 \in \mathbb{R}, \, \forall x \in E, \, 1 \cdot x = x

2. Sous-espaces vectoriels

Soit EE un espace vectoriel et F⊆EF \subseteq E. FF est un sous-espace vectoriel de EE si :s3dad1825ccd91218.jimcontent.com+2licence-math.univ-lyon1.fr+2

  • F≠∅F \neq \emptyset

  • ∀x,y∈F, x+y∈F\forall x, y \in F, \, x + y \in F

  • ∀λ∈R, ∀x∈F, λ⋅x∈F\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, \forall x \in F, \, \lambda \cdot x \in F

3. Familles génératrices et bases

  • Une famille génératrice de EE est une famille (v1,v2,…,vn)(v_1, v_2, \dots, v_n) telle que tout élément de EE peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.

  • Une base de EE est une famille libre et génératrice de EE.

  • La dimension de EE, notée dim⁡(E)\dim(E), est le nombre d'éléments dans une base de EE.s3dad1825ccd91218.jimcontent.comUSTO+2s3dad1825ccd91218.jimcontent.com+2

4. Dépendance et indépendance linéaires

  • Une famille (v1,v2,…,vn)(v_1, v_2, \dots, v_n) est linéairement indépendante si la seule solution de λ1v1+λ2v2+⋯+λnvn=0\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n = 0 est λ1=λ2=⋯=λn=0\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0.

  • Elle est linéairement dépendante si une combinaison non triviale de ces vecteurs donne le vecteur nul.

5. Application linéaire

Une application f:E→Ff : E \to F entre deux espaces vectoriels est linéaire si :USTO

  • f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous x,y∈Ex, y \in E

  • f(λ⋅x)=λ⋅f(x)f(\lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x) pour tout λ∈R\lambda \in \mathbb{R} et x∈Ex \in E

  • Conseils pour les étudiants

    • Compréhension des axiomes : Assurez-vous de bien comprendre les huit axiomes qui définissent un espace vectoriel.

    • Pratique régulière : Résolvez des exercices variés pour maîtriser les concepts.

    • Utilisation des ressources : Consultez les ressources en ligne pour des explications détaillées et des exercices corrigés.

    • Groupes d'étude : Participez à des groupes d'étude pour échanger des idées et résoudre des problèmes ensemble



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